Страница 5
ошибкой (СКО).
На графике величина . определяется модулем абсцисс точек перегиба кривой Гаус-
са. СКО . служит мерой <> случайных ошибок. Чем больше ., тем сильнее
<> кривая Гаусса и тем меньше ее максимум. Иначе говоря, СКО характеризует
точность измерений. При более точных измерениях кривая Гаусса идет круче (Рис. 4.3), а
ее дисперсия меньше, а максимум кривой оказывается выше, чем при менее точных из-
мерениях.
Площади, ограниченные различными кривыми Гаусса и осью абсцисс, должны быть
одинаковыми, так как все они соответствуют одному и тому же относительному количе-
ству ошибок, равному единице. Закон Гаусса может быть записан также в виде:
) X x (
e
1 ) X ( f .
. .
.
-
=
(4.9)
-5
-0,024
-0,020
-0,016
-0,012
-0,008
-0,004
0,000
0,004
0,008
0,012
0,016
0,020
0,024
Согласно теории, средняя квадратичная ошибка . является ошибкой отдельного из-
мерения (для данной совокупности n измерений) и определяется формулой
1 n
) X x (
lim
n
1 i
i
n -
-
=
.=
. >
. .
(4.10)
Рис. 4.3
Проведем две вертикальные линии через точки перегиба кривой Гаусса, как показано
на Рис. 4.4. Свойство . таково, что между этими двумя линиями умещается 68% всей
площади, ограниченной кривой и осью абсцисс, что соответствует 68% ошибок всех из-
мерений. Ошибки .X, величины которых удовлетворяют условию . . . X , встречаются
в среднем в 68 случаях из 100. Иначе говоря, . есть такая ошибка, что вероятность появ-
ления любой ошибки, не превосходящей по модулю ., составляет 0,68.
Таким образом, смысл СКО отдельного измерения состоит в том, что при выполне-
нии n измерений (если только n достаточно велико) в каждом из них появление ошибки
по модулю, не превышающей ., имеет вероятность 0,68.
Рис. 4.4
-0,03 -0,02 -0,01 0,00 0,01 0,02 0,03
-5
-0,024
-0,020
-0,016
-0,012
-0,008
-0,004
0,000
0,004
0,008
0,012
0,016
0,020
0,024
-. .
Ошибки, заключенные в интервале . 2 + , составляют 95%, а в интервале . 3 + - око-
ло 97,7.
Формулы (4.7)-(4.10), строго говоря, справедливы для случая бесконечно большого
числа измерений, т.е. когда n > . . В действительности, как уже указывалось выше, чис-
ло измерений всегда конечно. Поэтому в действительности мы никогда не обладаем пол-
ным набором величин .X , необходимым для точного построения кривой Гаусса и нахо-
ждения точного значения СКО.
В статистике полный набор статистических величин, дающих точное распределение
плотности вероятности, называют генеральной совокупностью. Набор же статистических
величин, полученных в результате конечного числа измерений, называют выборкой из
генеральной совокупности.
Выборочную СКО отдельного измерения для случая конечного числа измерений n
принято обозначать Sn и называть эмпирической СКО или оценкой СКО отдельного из-
мерения:
1 n
) x x (
S
n
1 i
i
-
. -
= = .
(4.11)
Величина Sn дает лишь приблизительное значение СКО. Практически мы всегда оп-
ределяем именно эту величину, а не истинное значение ..
Средняя квадратическая ошибка результата всех n измерений, характеризующая
окончательный их результат (т.е. ошибка в значении среднего арифметического x ), как
доказывается в теории ошибок, получается меньше ошибки отдельного измерения в n
раз. Эту ошибку будем обозначать через x . - при большом количестве измерений, и че-
рез x S - при малом количестве измерений. Практически x . и x S вычисляются по форму-
лам, имеющим один и тот же вид:
) 1 n ( n
) x x (
n
n
1 i
i
x -
. -
= = = .
. .
(4.12)
) 1 n ( n
) x x (
n
S S
n
1 i
i
n
x -
. -
= = = .
(4.13)
Они различаются лишь тем, что в формуле (4.12) n должно быть достаточно боль-
шим, в то время как в формуле (4.13) это число может быть малым.
Как видно из приведенных формул, СКО результата измерений зависит от числа из-
мерений n и путем увеличения этого числа может быть сделана сколь угодно малой. В
пределе, при n > . , имеем x . >0. Оценка СКО результата измерения имеет конечное
значение.
Из сказанного следует, что многократное повторение наблюдений необходимо: для
нахождения среднего арифметического значения измеряемой величины x ; для уменьше-
ния случайной средней квадратичной ошибки результата измерений x . (точнее, x S ).
Что касается ошибки отдельного измерения ., то эта величина, как видно из (4.10),
от n практически не зависит. Действительно, в выражении (4.10) под корнем, как числи-
тель, так и знаменатель возрастают пропорционально n (при достаточно большом числе n
единицей в знаменателе можно пренебречь), поэтому их отношение, а следовательно и
.практически не зависят от n, а зависят лишь от точности применяемого метода измере-
ний. Поэтому .(так же, как n S ) является ошибкой метода. Для характеристики метода
измерений следует указывать именно эту ошибку. Зная .(или n S ), можно самому вы-
брать нужное количество измерений для того, чтобы получить желаемое (достаточно ма-
лое) значение оценки СКО результата измерений x S .
Необходимо иметь в виду, что в действительности случайные ошибки складываются
с систематическими, которые не зависят от числа измерений. Поэтому увеличение числа
измерений может иметь смысл лишь до тех пор, пока случайная средняя СКО результата
не станет меньшей или сравнимой с систематическими ошибками.
Доверительная вероятность и интервал